Nếu V và W là các không gian Banach trên cùng một trường K, tập hợp của các hàm K-tuyến tính liên tục Θ : V → W {\displaystyle \Theta :V\rightarrow W} được ký hiệu là L(V, W).

Chú ý là trong các không gian vô hạn chiều, không phải tất cả các toán tử tuyến tính là liên tục (Với các không gian hữu hạn chiều thì mọi toán tử tuyến tính đều liên tục). Ta có một mệnh đề thú vị:

Cho Θ : V → W {\displaystyle \Theta :V\rightarrow W} là 1 toán tử tuyến tính. Khi đó 3 t/c sau là tương đương:

1. Θ {\displaystyle \Theta } liên tục
2. Θ {\displaystyle \Theta } liên tục tại 1 điểm
3. Θ {\displaystyle \Theta } bị chặn, tức là Θ ( M ) {\displaystyle \Theta (M)} là tập bị chặn trong W với mọi tập bị chặn M trong V.

Vì L(V, W) là một không gian vectơ, và bằng cách định nghĩa chuẩn ||O|| = sup { ||x||: x trong V với ||x|| ≤ 1 } nó trở thành một không gian Banach.

Đặc biệt, không gian L(V) = L(V, V) còn là một đại số Banach có đơn vị với phép nhân là phép hợp của các phép biến đổi tuyến tính.